Sujet du 22 Mars 2023 : SUR QUOI REPOSENT LES AXIOMES DES MATHÉMATIQUES ?

 

SUR QUOI REPOSENT LES AXIOMES DES MATHÉMATIQUES ?

 

 Avant toute chose, définissons rapidement le concept d'« axiome ». Le terme axiome est issu du grec αξιωμα (axioma), ce qui signifie « convenable, évident en soi ». Il s'agit d'un truisme, c'est à dire d'une proposition que l'on considère comme étant vraie

Dans la mathématique grecque antique, comme le précise Euclide dans les 13 tomes de son œuvre Les Eléments, les axiomes sont des propositions forcément vraies, irréfutables à tel point que certains philosophes affirment que leur véracité n’est pas à prouver.

Par contre, dans la mathématique actuelle, l'aspect irréfutable de l'axiome est effacé, au profit d'une simple utilité en tant que point de départ d'un raisonnement logique. Cette logique étant le métalangage de la mathématique. Il s'agit alors d'employer une proposition axiomatique dans le cadre d'un raisonnement logique, sortant généralement de la mathématique euclidienne. 

Si l'axiome semble évident, il doit être distingué du postulat, qui est une proposition également non-démontrable, mais que l'on demande d'admettre. Les axiomes servent de base pour un système d'une logique purement formelle.

Se pose cependant le problème du choix des axiomes. Dans la géométrie Euclidienne, on part de géométrie plane. Cette géométrie est fondée sur cinq axiomes principaux. Or, ceux-ci sont valables uniquement dans l'espace Euclidien. Dans une tout autre conception non-euclidienne de l'espace, comme l'espace hyperbolique, ou l'espace sphérique, à ce moment-là, on se rendra compte que l'idée d'axiome est purement formaliste : certains axiomes valables dans la géométrie d'Euclide deviendraient inapplicables ou obsolètes dans une autre forme de géométrie. On se demande alors si le système des axiomes s'appuie sur la réalité, ou s'ils ont une nature purement intellectuelle.

Les mathématiques sont une science où l'on ne sait jamais de quoi l'on parle, ni si ce que l'on dit est vrai », indiquait le philosophe et logicien Bertrand Russell. Or, les mathématiques en elles-mêmes sont un langage, comportant une architecture rigoureuse, et se fondant sur des théorèmes. Ces théorèmes s'appuient sur les axiomes.

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Mais comment savoir si une axiomatique est correcte ? Il semble que les axiomes ne puissent se définir comme étant justes que s'il est impossible de les nier sans se contredire : des axiomes comme « Le langage existe » sont forcément vrais. Je ne peux nier que le langage existe, car il est manifeste que j'emploie bel et bien le langage pour exprimer cette idée.

 

Le problème des axiomes apporte la question suivante : les mathématiques sont-elles une science de l'arbitraire ? Qu'est-ce que l'évidence en soi ? Peut-on bâtir la construction d'un raisonnement à partir d'évidences ? Peut-on construire un système de logique sans pouvoir apporter la preuve que les bases de cette logique sont vraies ?